ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
Năm học: 2011 - 2012

I. Biến đổi các biểu thức nguyên và phân thức hữu tỉ:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x2 – x – 6
x4 + 4x2 – 5
x3 - 19x – 30
x3 + 4x2 – 7x – 10
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2(c – a)
(x + y)3 – x3 – y3
(x + y)5 – x5 – y5
(x + y)7 – x7 – y7
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
(x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
ab(a - b) - ac(a + c) + bc(2a + c – b)
(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) – 24
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) – 15
(x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
x5 + x4 +1
x8 + x7 +1
x8 + x +1
x10 + x5 +1
x12 - 3x6 +1
x9 + x7 + x5
x4 + 4
(x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2
x3 + y3 + z3 – 3xyz
(x + y)4 + x4 + y4
x8 + 2x6 – 12x4 - 13x2 + 42
x4y4 + 2500
Bài 2: Tìm x để các biểu thức sau đây có giá trị nhỏ nhất:
a) x2 + x + 1 b) 2x2 – 6x
c) x2 + y2 – x + 6y + 10
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 2 + x – x2 b) x – x2
c) 2x – 2x2 – 5
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
y =

Bài 5: Tính tổng :
S = 7 + 77 + 777 + ... + 77...7 (n số 7)
S = 1+ 2.2 + 3.22 + 4.23 + ... + 100.299
S =

Bài 6: Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì ta có:
a.

b.

Bài 7: Cho
Chứng minh rằng:
S0 = S1 = 0
S2 = 1
S3 = a + b + c
S4 = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca
Bài 8: Cho a + b + c = 0. CMR: x3 + y3 + z3 = 3xyz
Bài 9: Cho x + y + z = 0. CMR: 5(x3 + y3 + z3) (x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5)
II. Biến đổi các biểu thức chứa căn thức:
Bài 1: Rút gọn biểu thức
A =

B =

C =

D =
với a
-

E =

F =

G =

H =

I =

J =

K =
với a > 0; a
1
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
A = x3 – 6x với x =

Bài 3: Chứng minh đẳng thức:
a.

b.

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:


Bài 5: Với mỗi số tự nhiên k
1.
a. chứng minh rằng:


b. Áp dụng để tính giá trị của biểu thức sau:


III. Bất đẳng thức:
Bài 1: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Nếu
thì

a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
Bài 2: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: x + y = 2.
CMR: x4 + y4
2
Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
(x + y + z)2
3(xy + yz + xz)
x2(1 + y)2 + y2(1